【中3数学】2次方程式の解き方（解の公式？因数分解？）

２次方程式には、様々な解き方があります。
そのため、「どの方法を使ったらいいの？」と悩んでしまう人も多いです。

今回は、２次方程式の解き方を考える時のめやすをお話ししていきます！

基本は、「解の公式」を使えば間違いない！

２次方程式が出てきたら、どんな問題であっても基本的には「解の公式」を使えば確実に解くことができます。

なので、まずは「解の公式」をスラスラと使えるように、徹底的に練習しましょう。

ここで、 b や c の値が０（ \(x^2) の係数や定数項が0）のときに「あれ、公式が使えない！？」と焦ってしまう人がいますが、そのような場合でも公式は使えます。

例えば
\(3x^2-7=0\)
という２次方程式があったとしましょう。

一見、\(ax^2+bx+c=0\) の形と違う様に見えますが、
\(x\) の係数の \(b\) が０であると考えて次のように書いてやれば、解の公式が使えそうな気がしますね！
\(3x^2{\color{red}{}+0\cdot x}-7=0\)

よって、解の公式より、
\(\begin{align*}x&=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot3\cdot(-7)}}{2\cdot3} \\[3px] &=\frac{2\sqrt{21}}{6} \\[3px] &=\frac{\sqrt{21}}{3} \end{align*}\)
となります。

「解の公式」以外の方法で簡単に解けるケース

どんな２次方程式であっても、解の公式を使えば必ず解くことができます。
･･･とはいえ、解の公式は分数やルートが出てくるので、計算がちょっと面倒だな、と思うこともありますよね（汗）。

もっとラクに計算できるなら、そっちの方が絶対にいい！

そこで、別の方法使った方が解の公式を使うよりもラクに解けるケースを３つ紹介します。

「x²＝定数」の形のとき

まず、「\(x^2=\) 定数」の形になっているとき。
このような場合は、\(x=\pm\sqrt{定数}\) とすれば一発で解けます！

(例１)
\(\begin{align}&x^2=7 \\ &x=\pm\sqrt{7} \end{align}\)

例２、例３は少し形が違うように見えますが、移項すれば「\(x^2=\) 定数」の形になりますね！

(例２)
\(\begin{align} &x^2-9=0 \\ &x^2=9 \\ &x=\pm3 \end{align}\)

(例３)
\(\begin{align} &2x^2-3=0 \\[3px] &x^2=\frac{3}{2} \\[3px] &x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2} \end{align}\)

「( )²＝定数」の形のとき

「\((px+q)^2=\) 定数」の形になっているときも、解の公式を使わずに簡単に解くことができます！
※ p や q は任意の定数（自由な数字）を表しています。

解法は、「\(x^2=\) 定数」を解くときと似ています。

(例４)
\(\begin{align} &(x-1)^2=3 \\[3px] &x-1=\pm\sqrt{3} \\[3px] &x=1\pm\sqrt{3} \end{align}\)

「( )( )=0」の形に因数分解できるとき

最後に、\(ax^2+bx+c=0\) の状態で、左辺を \((px+q)(rx+s)\) の形に因数分解できる場合も、解の公式を使わずに解けます。
※ p, q, r, s は任意の定数（自由な数字）を表しています。

(例５)
\(2x^2+7x+3=0\)
左辺を因数分解して、
\((2x+1)(x+3)=0\)
この等式が成り立つとき、\(2x+1=0\) または \(x+3=0\) だから、
\(x=-\frac{1}{2}, \ -3\)

ここでは、\(A \times B=0\) のとき、 A か B の少なくともどちらか一方は必ず０になるという性質がポイントになっています。

まとめ

練習問題

※プリント準備中です。